几个不等式的几何证明

Created on March 21, 2026

2026   ·   几何代数   杂项   转载   ·   math

这篇文章翻译/整理自 Andrei N. Ciobanu 的博文《The Shape of Inequalities》，原文见：The Shape of Inequalities。

引言

作者在网上看到一张很有意思的图（见下，Roland H. Eddy，1985），进而尝试把一些常见不等式用几何图形（圆、三角形、正方形、立方体、长方体……）表达出来，做成动画来帮助形成直觉。下面整理其中几条最经典、也最”好画出来”的例子。

作者也坦言：写完之后意识到，大多数代数不等式其实并不天然”几何友好”——一旦超出基础范围，用圆规和直尺来表达复杂代数真相就变得困难。但正是这种”强行装进容器”的过程，让我们得以窥见数学的”物理骨架”，也让我们看到：对称性不只是对”漂亮形状”的偏好，它本身就意味着极值。

Fig. 1. Roland H. Eddy (1985) 的插图（原文引用图）。

HM–GM–AM–QM 不等式链

这是学习不等式时几乎一定会碰到的一条链。对正实数 \(a, b, c > 0\)：

\[\underbrace{\frac{3}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}}}_{\text{HM}} \;\le\; \underbrace{\sqrt[3]{abc}}_{\text{GM}} \;\le\; \underbrace{\frac{a+b+c}{3}}_{\text{AM}} \;\le\; \underbrace{\sqrt{\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}}}_{\text{QM}}\]

两变量版本更直观：

\[\frac{2}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}} \;\le\; \sqrt{ab} \;\le\; \frac{a+b}{2} \;\le\; \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\]

其中：

  • HM（Harmonic Mean，调和平均）：比如去程速度 \(v_1\)、回程速度 \(v_2\)，全程的平均速度不是 \(\frac{v_1+v_2}{2}\)，而是 \(\frac{2}{\frac{1}{v_1}+\frac{1}{v_2}}\)。

  • GM（Geometric Mean，几何平均）：增长因子的”平均”，适用于缩放和复利场景，和调和平均一样，它在自然界和简单的金融计算中都有出现。举个例子：假如你是一位股票投资者，第一年你的投资组合增长了 \(100\%\)，但第二年市场崩盘，跌了 \(50\%\)，那你的平均增长率是多少？

    • 数学不好的投资者会说：\(\frac{100 + (-50)}{2} = 25%\)。
    • 聪明的投资者会看增长因子：第一年因子是 \(2.0\)，第二年是 \(0.5\)，然后这样求平均：\(\text{平均增长因子} = \sqrt{2.0 \times 0.5} = 1.0\)。
    • 这意味着你的平均增长实际上是 \(0\)——你最终回到了原点。说实话，这已经比大多数交易者强了。
  • AM（Arithmetic Mean，算术平均）：最常见的平均数 \(\frac{a+b}{2}\)。

  • QM（Quadratic Mean，二次平均 / RMS）：\(\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\)，在电工等场景里常出现（比如交流电压标注的 RMS 值）。

    • 欧洲的电压标注为 230V，但这并不是人们通常以为的”实际平均电压”——这个数值其实是用 RMS 算出来的。

下面用”看得见”的方式把这些量放到同一张几何图里。

两个圆：AM 和 GM 的同台

设大圆直径为 \(a\)，半径 \(R = \frac{a}{2}\)。再放一个小圆，直径为 \(b\)，半径 \(r = \frac{b}{2}\)，让小圆从外部与大圆相切。

Fig. 2. 两圆外切：AM 与 GM 的几何呈现。

把小圆圆心 \(O'\) 投影到过大圆圆心 \(O\) 的竖直线，得到点 \(P\)。此时三角形 \(OPO'\) 是直角三角形，各边长度为：

  • 斜边 \(OO' = R + r = \dfrac{a+b}{2}\)（这就是 \(a, b\) 的 AM）
  • 水平直角边 \(OP = R - r = \dfrac{a-b}{2}\)
  • 竖直直角边 \(O'P\)：
\[(O'P)^2 = \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 - \left(\frac{a-b}{2}\right)^2 = ab \quad\Longrightarrow\quad O'P = \sqrt{ab}\]

也就是说，GM \(= \sqrt{ab}\) 被”画”成了直角边，而 AM \(= \frac{a+b}{2}\) 是斜边。由于直角边 \(\le\) 斜边，自然得到：

\[\sqrt{ab} \;\le\; \frac{a+b}{2}\]

等号当且仅当 \(a = b\) 时成立（此时两圆等大，直角边退化为零）。

半圆：把 HM、GM、AM、QM 全装进一张图

取一个半圆，直径长度为 \(a + b\)，圆心为 \(O\)。在半圆弧上取点 \(P\)，向下投影到直径得到垂足 \(P'\)。则 \(\angle OPP' = 90°\)（直径所对圆周角），且：

Fig. 3. 半圆图1。
  • \(OP = \dfrac{a+b}{2}\)（半径，即 AM）
  • \[OP' = \dfrac{|a-b|}{2}\]
  • \(PP' = \sqrt{ab}\)（GM），由勾股定理：
\[PP' = \sqrt{\left(\frac{a+b}{2}\right)^2 - \left(\frac{a-b}{2}\right)^2} = \sqrt{ab}\]
Fig. 4. 半圆图2。

为了引入 QM，在圆心处作与直径垂直的半径 \(OM\)，再连线 \(MP'\)。由：

  • \[OM = \dfrac{a+b}{2}\]
  • \[OP' = \dfrac{|a-b|}{2}\]

再一次勾股：

\[MP' = \sqrt{\left(\frac{a+b}{2}\right)^2 + \left(\frac{a-b}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\]

这就是 QM。

Fig. 5. 半圆图3。

最后，为了让 HM 也”显形”，把 \(P'\) 向 \(OP\) 上作垂线，垂足为 \(N\)（即直角三角形 \(OPP'\) 中，从直角顶点 \(P'\) 向斜边 \(OP\) 所作的高的垂足）。利用”射影定理”（高与斜边分段的关系）：

\[PN = \frac{PP'^2}{OP} = \frac{\left(\sqrt{ab}\right)^2}{\dfrac{a+b}{2}} = \frac{2ab}{a+b} = \frac{2}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}\]

这就是 HM。

于是同一张半圆图里同时出现了：

\[\begin{array}{c|l} \text{线段} & \text{对应量} \\ \hline PN & \textbf{HM}\ \text{（调和平均）} \\ PP' & \textbf{GM}\ \text{（几何平均）} \\ OP & \textbf{AM}\ \text{（算术平均）} \\ MP' & \textbf{QM}\ \text{（二次平均）} \end{array}\]

几何上几乎一眼能看出：除非 \(a = b\)，这些线段严格满足 \(\text{HM} < \text{GM} < \text{AM} < \text{QM}\)。

“容器”视角：AM–GM 的面积直觉

这不是严格意义上的证明，但非常直观。

设 \(a + b\) 固定。考虑：

Fig. 6. 面积视角：固定周长时，正方形面积最大。
  • 正方形：边长为 \(\dfrac{a+b}{2}\)，面积为 \(\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\)
  • 长方形：边长为 \(a\) 与 \(b\)，面积为 \(ab\)

当 \(a + b\) 固定时，正方形面积总是不小于任何长方形面积（只有 \(a = b\) 时取等）：

\[\left(\frac{a+b}{2}\right)^2 \;\ge\; ab \quad\Longrightarrow\quad \frac{a+b}{2} \;\ge\; \sqrt{ab}\]

也就是在所有周长相同（即 a+b 固定）的长方形里，正方形的面积最大。 也可以这么证明：

\[\left(\frac{a+b}{2}\right)^2 - ab = \frac{(a+b)^2}{4} - ab = \frac{a^2 + 2ab + b^2 - 4ab}{4} = \frac{(a-b)^2}{4} \geq 0\]

3D 容器：AM–GM 的体积直觉

把上面的想法从面积升级到体积，固定 \(a + b + c\)：

Fig. 7. 体积视角：固定棱长之和时，正方体体积最大。
  • 正方体：边长为 \(\dfrac{a+b+c}{3}\)，体积为 \(\left(\dfrac{a+b+c}{3}\right)^3\)
  • 长方体：边长为 \(a, b, c\)，体积为 \(abc\)

当三边之和固定时，正方体的体积最大：

\[\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3 \;\ge\; abc \quad\Longrightarrow\quad \frac{a+b+c}{3} \;\ge\; \sqrt[3]{abc}\]

等号当且仅当 \(a = b = c\) 时成立。

平方和不等式（Sum of Squares）

另一个常见且”可视化友好”的不等式：

\[a^2 + b^2 + c^2 \;\ge\; ab + bc + ca\]

可以参考证明方法： 方法1， 方法2， 方法3， 方法4 。

Fig. 8. 平方和不等式的几何直觉：三个正方形与三个长方形。

几何直觉：

  • 取边长分别为 \(a, b, c\) 的三个正方形，总面积为 \(a^2 + b^2 + c^2\)（不等式左边）。
  • 把这三个正方形拼合后，在拼接的图形里画辅助线，可以识别出面积分别为 \(ab, bc, ca\) 的三个长方形，总面积之和为 \(ab + bc + ca\)（不等式右边）。

当 \(b, c\) 慢慢增大至与 \(a\) 相等时，两边的差距逐渐缩小，直到 \(a = b = c\) 时两边相等，三个正方形完全对齐——不等式取等。

Nesbitt 不等式：用三角形里的距离来”变形”

Nesbitt 不等式是一个经典结论：

\[\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \;\ge\; \frac{3}{2}\]

可以参考证明方法： 方法1， 方法2， 方法3。

Fig. 9. Nesbitt 不等式：通过等边三角形内点到三边距离来变形证明。

作者给出的思路以 Viviani 定理为几何骨架：

  • 在等边三角形内取一点 \(Q\)，到三边的距离分别为 \(x, y, z\)；
  • Viviani 定理：\(x + y + z = h\)（\(h\) 为三角形的高，为常数）。

做变量替换：

\[a = y + z, \quad b = x + z, \quad c = x + y\]

注意到 \(a + b + c = 2(x + y + z) = 2h\)，从而：

\[b + c = 2h - a = h + (h - a) = h + x\]

类似地，\(c + a = h + y\)，\(a + b = h + z\)。

将 Nesbitt 不等式的每一项变形：

\[\frac{a}{b+c} = \frac{h - x}{h + x}, \quad \frac{b}{c+a} = \frac{h - y}{h + y}, \quad \frac{c}{a+b} = \frac{h - z}{h + z}\]

Nesbitt 不等式等价于：

\[\frac{h-x}{h+x} + \frac{h-y}{h+y} + \frac{h-z}{h+z} \;\ge\; \frac{3}{2}\]

几何直觉：

  • 当 \(Q\) 在三角形中心时，\(x = y = z = h/3\)，每一项均为 \(\frac{h - h/3}{h + h/3} = \frac{2/3}{4/3} = \frac{1}{2}\)，左边恰好等于 \(\frac{3}{2}\)，取等。
  • 点 \(Q\) 一旦偏离中心，某些距离变大、某些变小，但总和只会增大——这给出了一个直观的几何解释：为什么中心对应最小值。

总结

把代数不等式硬塞进圆、方形、棱柱这些几何容器里，常常能得到一种”机械式”的直觉：某些长度/面积/体积天然被几何边界约束住，等号对应最对称的形态。

诚然，很多更复杂的不等式未必这么”几何友好”，但这种方法能帮助我们记住：

对称性往往意味着极值——并且通常对应等号成立的情况。